算数・数学: 大好きが天才を生む

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2025年09月05日

数学につまづいたら、発想の転換　自分自身の価値を知る編 #1219

第１２１９回の今回は
数学につまづいたら、発想の転換　
自分自身の価値を知る編

というテーマでお送りします。

私たちが持っているものに目を向けよう。
そもそも、数学を学ぶとは何をしているのか。
私の恩師は、明快に答えて下さった。
「無限の世界の視力を獲得すること」
素晴らしい教えだ。

ピンポン玉を有限の世界とすると、
無限の世界はどのくらいの大きさだろうか。
「地球？」　まだまだ。
「太陽系？」　いやいや、まだまだ。
「銀河系？」　そんなもんじゃない。
「宇宙全体？」　そんなに小さいわけがない。

無限に対するこんな感覚に支えられ、数学は発展してきたと思う。
この感覚が分からないと、数学の多くの定理やその証明が、
ただの文字の羅列にしか思えないだろう。
私たちは、無限世界における視力を獲得し、
無限世界を縦横無尽に駆け巡ることを志向し、
数学を学んできたのだ。
すごいことではないか。
こういう能力を授けてくれる学問が他にあるだろうか。
私は、心から数学を学んできてよかったと思う。

そこで、これからが本題なのだが、
この無限の世界を知覚する能力は
凄い能力なので、これを生かすのは、
数学研究だけにとどめておくのは大変もったいないのではないか。
私たちは、この宇宙より遥かに遙かに、大きな世界、
言葉では言い表せない世界　ーだからこそ、数学が出現したのだがー
にいる。
そういう視点から、この地球上の事象、
例えば、企業、企業間の競争、国家、国家同士が覇を争う有り様を見たとき、
国家のあるべき姿、
企業の取るべき方策など、
自然に見えてしまうのは、当然のことだ。
言い換えれば、数学は、究極の「岡目八目」とも言える。

ある高校生が担任（数学担当）に進路を相談した。
「理学部数学科に進学したいのですが」
その教師の答えはつぎのようなものだったそうだ。
「数学科に進学しても、教師しか道がないからなあ」
皆さんはどうだろうか。
自分の生きる世界を狭く限定して来なかったか。
振り返って欲しい。
とてつもなく大きな世界を認識しながら、
実際の生き方を、限定して来なかったか。
自分の持っているものは、自分にとっては当たり前でも、
そうでない大多数の人々にとっては驚異の能力になる。
だから、自分の持っている物に、自分で光を当てて欲しい。
光をあてれば、自分がいろいろなことができる可能性があることに
気づくはずだ。
可能性に気づいたら、それを生かすには何ができるか、
考え、行動して欲しい。

数学の力で日本を導く人が、雲のごとく現れて、
日本を幸せと繁栄に導いて欲しいと、
こころから願っている。
もちろん、本業の数学の研究にも力を注いでいただいて、
真の二刀流を実現していただけるものと確信している。

＊これは、別の恩師からのまた聞きです。
辰馬伸彦先生は、家業の酒造会社を経営されながら、
数学の研究をなさったそうです。

絶対合格！

再生時間は６分です。ぜひ聴いてみて下さい。

posted by 鴨下算数数学塾 at 15:00| Comment(0) | 算数・数学 |

2025年08月29日

数学につまづいたら、発想の転換　　ロシアンパワーを使え！編　#1218

第１２１８回の今回は
数学につまづいたら、発想の転換　
ロシアンパワーを使え！編
というテーマでお送りします。

「・・・その目的とするところは、これらの諸理論を単に説き来り説き去る
というのではなく、物理学や科学技術の領域に必須な事項を豊富に取り扱い
つつ，数学的緒方法を十分に理解せしめ、
自らこれを駆使し得る段階にまですることにある。
したがってその説明はいたるところ懇切丁寧であって、
しかも全体を一貫した方針でつらぬいている」
スミルノフ　高等数学教程　訳者　序　より

今、私は、
「スミルノフ　高等数学教程　全12巻」
を目の前にして、これを書いている。
トルストイの「戦争と平和」を見ればわかる通り、
ロシア人の書くものは圧倒的に量が多い。
これは、文学だけではなくて、数学でも同様で、
「スミルノフの高等数学教程」のような莫大な量の教科書が出現する。

この教科書を読むと、文化の違いを如実に感じる。
三十一文字で人生のみならず、宇宙のすべてを表現することを志す、
我が国の文化とは全く対照的な文化の存在を理解することができる。
国土が広いため、通信教育が発達したという状況も加わって、
ロシアに長大で良質な教科書が出現する。
ロシアは、日本と同様に、傑出した数学者を何人も輩出している。
扱っている範囲も広い。

１は、我が国の数Ⅲで学ぶ内容が書かれているが、詳しい。
圧倒的に詳しい。
２からは、大学での数学になる。微積分、微分方程式を経て、
11で積分論、位相、最終12でヒルベルト空間の非有界作用素まで読者を
導いてくれて、この長大な物語は大団円を迎える。
途中、函数論、線形代数、ベクトル解析、曲面論、群論、フーリエ級数、
特殊関数、積分方程式、変分法、偏微分方程式などが次々に現れ、
一つの物語を構成し、ヒルベルト空間の非有界作用素という目的に向かって収束していく。
結果的に、我が国のカリキュラムで言えば、
高校の数学Ⅲから大学３年生までの解析＋線形代数＋群論を全部含んでいる。

この著作の顕著な特徴は、
演習問題がないということ。
そして、演習問題がないので解答もない。
なぜ、演習問題がないのか。
日本の教科書だったら、演習問題にするようなところを、全部本文に
組み入れて、詳しく解説しているからだ。
それから、訳者のメンバーがすごい。
なんと谷山豊先生も訳者に名前を連ねていらっしゃる。

スミルノフ高等数学教程が読み終わったら、

アヒエゼル　グラズマン著　ヒルベルト空間　上　下　共立出版

を読んでみて欲しい。
これも、ロシアンパワー全開の本。
これ以上なく懇切丁寧で、読者を高いレベルまで導いてくれる。
スミルノフ高等数学教程の１２で学んだことをさらに深め、高めてくれるはずだ。
多くの数学を学ぶ者にとって、ロシアンパワー全開の教科書は、
有益な事限りない。
図書館にいけば、昭和３０年代から４０年代にかけて、日本語に翻訳された
ロシアの数学書を手に取ることができるはずだ。
数学の勉強が上手くいかなくなってしまったら、
ロシアンパワーの力を借りることを考えてみて欲しい。
突破口になるはずだ。

絶対合格！

再生時間は６分です。ぜひ聴いてみて下さい。

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2025年08月22日

数学に躓いたら、発想の転換　#1217

第１２１７回の今回は
数学に躓いたら、発想の転換

というテーマでお送りします。

今回は、大学生以上に向けて話します。
もちろん、高校生以下にも役に立ちます。
大学の数学でつまずいてしまった人はどうすればいいか。
振り返れば、決定的に演習が足りない人が多いはずです。
多くの大学生は演習が足りません。
だから、演習問題を意識的に沢山解かなくてはなりません。

演習問題を解きながら、不明なところをテキストで調べる。
興味があるところを精読する。
演習→テキスト
という流れで勉強をするといい。
普通は、講義を聴く、テキストを読む→演習なのだが、
その逆をやるといい。

定理の証明はもちろん極めて重要であることは言を俟（ま）たないが、
最初にやるべきことは、演習問題を通して、定理の使い方を学ぶこと。
定義、定理を頭のなかに刻みこむこと。
初歩の例だが、
「上限ときいたら、上界の最小数」
「下限ときいたら、下界の最大数」とすぐに出てくるようにする必要がある。
コンパクト集合と聞いたら、すべての開被覆が必ず有限部分被覆を持つ。
そして、ある集合Aがコンパクトであることを示すには、
Ａのすべての開被覆について、それぞれ有限個の開集合を取り出して
それらの和集合がＡを覆うかを調べればよい。
そのために演習問題を解く。
そして、テキストを虫食い的に読んでいく。

そうすると、頭の中に数学の体系が使えるようになってくる。
演習書をなんでもいいから、本当に何でもいいから手に取って
一題やってみる。有名なものから選んでもいい。
とにかく、解こうとする。
あっさりできてしまえば、次の問題に進めばいいが、
30分考えてわからなければ、
解答を見ながら、解答を丁寧に写す。
写すというのは、一行一行の内容を理解しながら写す。
わかりにくいところは、具体例を作ってみるといい。
そして、どんなふうに定理が使われていて、
そのためにどんなテクニックを使っているのか、
この点に焦点を当てて学んでいく。

だいたい、演習書の解答は簡潔に書かれているので、
解答を嚙み砕いて、補って書き直してみるとよい。
一題の解答を自分のものにするには、
１時間以上かかることもざらにあると思う。
でも、そういうものだと思って頑張って勉強して欲しい。

講義の後に配布されるレポート問題や、
教科書の章末問題が全く解けない、という人は、
演習書中心に勉強をすることに試みて欲しい。
正しくやっていれば、必ず解けるようになる。
真面目で、大学に行けなくなってしまった方にも是非取り入れて欲しい。

役に立つと私が思う本の一部を最後に挙げておく。
講義がわからない、有名なテキストを読んでも分からない、
演習問題が全く解けない、
院試対策が全くできない。
そういう人もいらっしゃると思う。
少しでもお役に立てたら心から嬉しい。

絶対合格！

◇◆参考図書◆◇
いろいろなレベルの方がいらっしゃるので、どんな人でも役に立つわけではないけれど、
このレベルが自分のものになっていなくて、
苦労している方も多数いらっしゃるはずです。
例えば、[1]から[6]の必要か所を参照しながら[7]の問題を解くというやり方があります。
[1]から[7]は非常に使いやすくて役に立つ本です。すべて名著だと思います。
数学に挫折しかかったら、是非、[1]から[7]に取り組んでください。

[1] 解析学Ⅰ　/永倉安次郎、宮岡悦良著　共立出版
[2] 解析学Ⅱ　/永倉安次郎、宮岡悦良著　共立出版
[3] 解析演習ハンドブック　一変数関数編　/永倉安次郎、宮岡悦良著　朝倉書店
[4] 解析演習ハンドブック　多変数関数編　/永倉安次郎、宮岡悦良著　朝倉書店
[5] 微分積分学　Ⅰ　一変数の微分積分　　/宮島静雄著　共立出版
[6] 微分積分学　Ⅱ　多変数の微分積分　　/宮島静雄著　共立出版
[7] 数学演習ライブラリ　解析演習　　/野本久夫、岸正倫著　　サイエンス社

再生時間は11分です。ぜひ聴いてみて下さい。

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2024年03月15日

数学は脳の大好物　#1142

第１１４２回の今回は
数学は脳の大好物
というテーマでお送りします。

数学は脳の大好物だとはっきり認識した方がいい。

数学を勉強すると脳のあらゆる能力を爆発的に成長させることができる。

だから、数学の勉強をしないというのがわからない。

数学を、受験科目にあるからやるとか、

成績のためにやるとか、

そういう目的でも、やらないよりははるかにいいと思うのだけれど、

数学を一生学び続けるものとしてとらえられればこれほどの幸せはない。

数学は好きだけど得意じゃないという人は理由があって、

問題に対する戦略を学んでいない。

問題を見たら何をするのか。

これを学んでいないから不得意なのです。

まず、問題を見たら何をすべきかと言う観点から数学を学んでいきましょう。

そうすれば、問題にあたればあたるほど、数学の力がついていきます。

そして、問題を見たときにやること、つまり、戦略を洗練させていくことができます。

数学は、戦略的思考を磨いてくれる学問でもあるのです。

四の五の言っている暇はありません。

数学を学びましょう。

再生時間は６分半です。ぜひ聴いてみて下さい。

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